最適制御問題とは

最適制御問題は「時間とともに変わる操作のうち、条件を満たしながら目的をいちばん良くするもの」を探す問題です。 このページでは、問題を構成する要素を具体例で一つずつ説明し、最後に一般的な数式の形にまとめます。

普通の最適化との違い

高校や大学初年級で学ぶ最適化は、たとえば $f(x) = (x-1)^2$ を最小にする数 $x$ を求める問題です。 答えは $x = 1$ という一つの数です。変数が何個かに増えても、探すのは有限個の数の組です。

最適制御問題で探すのは、時刻 $t$ の関数 $u(t)$ です。たとえば「各時刻にアクセルをどれだけ踏むか」は、 時刻ごとに値がある関数です。関数は無数の値の集まりなので、探す範囲がとても広く、 しかも各時刻の操作が後の状態に影響します。今アクセルを踏みすぎると、後で強くブレーキを踏む必要が生じます。 このように時間方向につながった影響を考えながら、操作の時間変化をまるごと決めるのが最適制御です。

具体例：止まるまでの最短時間

例題02 の問題で、構成要素を見ていきます。

止まっている台車を 10 m 先まで動かし、そこでぴったり止めたい。加速度の大きさは 2 m/s² までしか出せない。 いちばん早く着くには、加速度をどう変えればよいか。

状態：システムの「今の様子」

その時刻のシステムの様子を表す量を状態といいます。この例では位置 $x$ と速度 $v$ です。 状態がわかれば、その後の動きを計算する出発点がそろいます。 状態をまとめてベクトル $\boldsymbol{x}(t)$ と書きます。

制御：自分で決められる入力

時刻ごとに自由に選べる量を制御（または制御入力）といいます。この例では加速度 $a$ です。 最適制御問題で求める答えは、この制御の時間履歴 $a(t)$ です。制御をまとめて $\boldsymbol{u}(t)$ と書きます。

運動方程式：制御から状態の変化が決まる

制御を選ぶと状態がどう変化するかを、微分方程式で表します。この例では

$$\dot{x} = v, \qquad \dot{v} = a$$

です（$\dot{x}$ は $x$ の時間微分 $dx/dt$）。一般には

$$\dot{\boldsymbol{x}}(t) = \boldsymbol{f}\bigl(\boldsymbol{x}(t), \boldsymbol{u}(t), t\bigr)$$

と書きます。ロケットなら $\boldsymbol{f}$ に推力・空気抵抗・重力・推進剤の消費が入ります。 最適制御では、**運動方程式は「守らなければならない条件」**として扱われます。 物理法則に反する動きは、どれだけ目的に有利でも選べません。

境界条件：始まりと終わり

出発時と到着時に状態が満たすべき条件を境界条件といいます。この例では

$$x(0) = 0,\quad v(0) = 0,\qquad x(t_f) = 10,\quad v(t_f) = 0$$

です。$t_f$ は終了時刻です。この例のように終了時刻そのものが未知で、答えの一部として決まる問題も多くあります。

制約：途中で守る条件

運動の途中でずっと守らなければならない条件を経路制約（または単に制約）といいます。この例では

$$-2 \le a(t) \le 2$$

です。ロケットなら「推力は最大推力以下」「加速度は 8 G 以下」「高度は地表より上」などが制約になります。

目的関数：何を良くしたいか

小さくしたい量を数式で表したものを目的関数（評価関数、コスト関数）といいます。この例では到着時刻そのものです。

$$J = t_f$$

大きくしたい量（到達高度など）は、マイナスをつけて最小化します。

答え

この問題の答えは「前半は最大の加速度で加速し、ちょうど中間点で最大の減速に切り替える」です。 所要時間は $2\sqrt{10/2} = 4.47$ 秒です。OpenGoddard で解くと、この答えが数値的に得られます。

例題02の解。位置・速度・加速度の時間履歴。点は計算で求めた値、黒の破線は手計算で求めた解析解です。加速度が上限と下限の間を一度だけ切り替わる制御を「バンバン制御」といいます。

直感的に予想できる答えですが、条件が少し複雑になるだけで（空気抵抗がある、燃料で質量が減る、高度によって空気の濃さが変わる） 手計算では答えが出せなくなります。そのような問題を数値計算で解くのが OpenGoddard の役割です。

目的関数の2つの形

目的関数には、性質の違う2種類の項があります。

種類	形	意味	例
終端コスト（Mayer 型）	$\Phi\bigl(\boldsymbol{x}(t_f), t_f\bigr)$	終わったときの状態だけで決まる	所要時間 $t_f$、最終高度 $-h(t_f)$、残った質量 $-m(t_f)$
積分コスト（Lagrange 型）	$\displaystyle\int_{t_0}^{t_f} L(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{u}, t)\,dt$	途中の経過を積み上げる	操作量の二乗和 $\int u^2 dt$、燃料消費 $\int \lvert T \rvert dt$

両方を足した形を Bolza 型といいます。例題01 は所要時間（終端コスト）と 操作量の二乗積分（積分コスト）の和を最小にします。「早く着きたいが、急ぎすぎると操作が大きくなる」という釣り合いを取る問題です。

一般的な形

ここまでの要素をまとめると、OpenGoddard が扱う最適制御問題は次の形になります。

$$\begin{aligned} &\text{最小化} && J = \Phi\bigl(\boldsymbol{x}(t_f), t_f\bigr) + \int_{t_0}^{t_f} L\bigl(\boldsymbol{x}(t), \boldsymbol{u}(t), t\bigr)\,dt \\[4pt] &\text{運動方程式} && \dot{\boldsymbol{x}}(t) = \boldsymbol{f}\bigl(\boldsymbol{x}(t), \boldsymbol{u}(t), t\bigr) \\[4pt] &\text{境界条件} && \boldsymbol{\psi}\bigl(\boldsymbol{x}(t_0), t_0, \boldsymbol{x}(t_f), t_f\bigr) = \boldsymbol{0} \\[4pt] &\text{経路制約} && \boldsymbol{g}\bigl(\boldsymbol{x}(t), \boldsymbol{u}(t), t\bigr) \ge \boldsymbol{0} \end{aligned}$$

記号	名前	例題02では
$\boldsymbol{x}(t)$	状態	$(x, v)$
$\boldsymbol{u}(t)$	制御	$a$
$\boldsymbol{f}$	運動方程式の右辺	$(v, a)$
$\Phi$	終端コスト	$t_f$
$L$	積分コストの被積分関数	なし（$0$）
$\boldsymbol{\psi} = \boldsymbol{0}$	境界条件	$x(0)=0,\ v(0)=0,\ x(t_f)-10=0,\ v(t_f)=0$
$\boldsymbol{g} \ge \boldsymbol{0}$	経路制約	$2 - a \ge 0,\ a + 2 \ge 0$

経路制約は「$\ge 0$」の形にそろえて書きます。$a \le 2$ なら $2 - a \ge 0$ です。 OpenGoddard のコードでもこの向きで書きます（問題の書き方）。

区間に分ける

ロケットの段分離のように、途中で運動方程式や機体の性質が変わる問題があります。 このような問題は、時間を区間（phase）に分け、区間ごとに運動方程式を与えます。 区間の境目では「位置と速度はつながる」「質量は分離した段の分だけ減る」といった接続条件を課します。 OpenGoddard では区間の数を自由に増やせます（例題11）。

なぜ数値計算が必要なのか

答えは関数なので、厳密には無限個の値を決める問題です。手計算で解けるのは、 例題01〜03のように運動方程式が簡単で制約が少ない場合に限られます。 実用的な問題では、関数を有限個の数で近似して、コンピュータで解ける形に変換します。 その変換の考え方には大きく2つの流派があります。次のページで説明します。