01. 最小操作量の移動

直線の上にある点を、決まった距離だけ動かします。急げば早く着きますが、そのぶん大きな操作が必要です。ゆっくり動かせば操作は小さくて済みますが、時間がかかります。この二つの釣り合いがいちばん良い動かし方はどれでしょうか。

項目	内容
状態	位置 $x$
制御	速度 $u$
目的	所要時間と、速度の2乗の積分の和を最小にする
区間	1区間、8ノード、開始時刻 5 は固定、終了時刻は自由
新しく学ぶこと	最適制御問題の組み立て方（運動方程式・境界条件・目的関数）、終端コストと積分コストの組み合わせ

状況

一本の直線の上を動く点を考えます。点の位置を $x$ 、点を動かす速さを $u$ とします。私たちは各時刻に $u$ を自由に選べます。 $u$ が「自分で決められる入力」、つまり制御です。位置 $x$ は $u$ を選んだ結果として決まる量で、状態と呼びます（用語は最適制御問題とはで詳しく説明しています）。

点を $x = 0$ から $x = 2$ まで運びたいとします。良い運び方の基準として、次の二つを同時に考えます。

早く着きたい。 所要時間が短いほど良い。
操作を小さくしたい。 速さ $u$ が大きいほどエネルギーを使うとみなし、 $u^2$ を時間で積み上げた量が小さいほど良い。

単位は特に決めない無次元量です。物理的な意味よりも、最適制御問題の形を知ることを目的とした例です。

問題設定

運動方程式

\dot{x} = u

$\dot{x}$ は位置の時間微分 $dx/dt$ 、つまり位置の変化の速さです。この式は「位置は選んだ速さ $u$ で変わる」ことを表しています。運動方程式は、制御を選んだとき状態がどう変わるかを決める規則で、最適化の途中でも必ず守られます。

境界条件

x(t_0) = 0, \qquad x(t_f) = 2

$t_0$ は開始時刻、 $t_f$ は終了時刻です。この例では開始時刻を $t_0 = 5$ に固定しています。時刻が 0 から始まる必要はないことを示すためで、答えの所要時間 $t_f - t_0$ は開始時刻によりません。終了時刻 $t_f$ は固定せず、答えの一部として決めます。

制約

\begin{aligned} 0 &\le u \le 3 \\[2pt] 5.1 &\le t_f \le 15 \end{aligned}

速さは 0 以上 3 以下、終了時刻は 5.1 から 15 の間とします。所要時間でいえば 0.1 から 10 の範囲です。後で見るとおり、最適解ではどちらの制約にも届かず、答えを決めているのは目的関数の釣り合いです。

目的関数

J = \underbrace{(t_f - t_0)}_{\text{所要時間}} + \underbrace{\int_{t_0}^{t_f} u^2\, dt}_{\text{操作の大きさ}}

第1項は終わったときの時刻だけで決まる終端コスト、第2項は途中の操作を時間で積み上げる積分コストです。 $u^2$ は $u$ の正負によらず、大きな操作ほど急に大きくなります。二つの項は向きが逆で、所要時間を縮めると速く動く必要があるので第2項が増えます。

パラメータ

記号	意味	値
$d$	移動距離（コードの `target`）	2
$t_0$	開始時刻	5
$u_{\max}$	速さの上限	3

最適化の内部では、時刻を 3、位置を 2 を単位とする大きさにそろえて計算しています（単位をそろえる）。結果は元の単位で取り出せます。

初期推定

最適化は、答えに近い「たたき台」から出発して少しずつ改良していきます。この例では

時刻：5 から 8 まで（所要時間 3）
位置：0 から 2 まで時刻に比例して増える直線
速さ：一定値 $2/3$ （3 の時間で 2 進む速さ）

を初期推定とします。

結果

位置と速度（制御）の時間履歴。点は8個のノードでの値、青の線はそれらを通る多項式、黒の破線は解析解、赤の点線は速度の上限 3 です。

点が動く様子。左は直線上の点の位置、右は位置と速度の時間履歴で、縦線が現在の時刻を示します。

所要時間は 2.0000、目的関数の値は 4.0000 です。
速度は最初から最後まで 1.0000 で一定です。位置は時刻に比例して増えます。
速度は上限 3 よりずっと小さく、制約はどこでも効いていません。

解説

この問題は手計算で解けます。数値解と比べてみましょう。

所要時間を決めたときの最良の動かし方

まず所要時間を $T = t_f - t_0$ に固定して考えます。距離 $d$ を進むので、速さの平均は $d/T$ です。平均が同じなら、速さを途中で変えるよりずっと一定にした方が $u^2$ の積分は小さくなります。速いときの $u^2$ の増え方が、遅いときの減り方より大きいからです（2乗の平均は平均の2乗以上）。したがって $u = d/T$ で一定に動くのが最良で、積分コストは

\int_{t_0}^{t_f} u^2\, dt = \left(\frac{d}{T}\right)^2 T = \frac{d^2}{T}

になります。

所要時間の最良の値

目的関数は所要時間 $T$ だけの関数になります。

J(T) = T + \frac{d^2}{T}

$T$ を大きくすると第1項が増え、小さくすると第2項が増えます。 $dJ/dT = 1 - d^2/T^2 = 0$ から

\begin{aligned} T &= d = 2 \\[2pt] u &= d/T = 1 \\[2pt] J &= 2d = 4 \end{aligned}

が得られます。数値解の所要時間 2.0000、速度 1、目的関数 4.0000 はこれと一致しています。

興味深いのは、最適な速さが距離によらず常に 1 になることです。この目的関数では「時間 1 の価値」と「速さ 1 で動き続ける操作の負担」がちょうど釣り合うのが速さ 1 だからです。距離が変わると、所要時間だけが変わります。

数値計算では何をしているか

OpenGoddard は、時間を8個の点（ノード）に分け、各ノードでの位置と速度、それに終了時刻を未知数として、「運動方程式・境界条件・制約を満たしつつ $J$ を最小にする」有限個の数の最適化問題として解きます（直接法と間接法、擬スペクトル法）。解が直線と定数なので、8ノードでも誤差なく表せます。

試してみよう

main() の target = 2.0 を 1 や 5 に変え、所要時間が距離と同じ値になり、速度は 1 のまま変わらないことを確かめる。
target を 20 にする。制約がなければ所要時間 20 が最良ですが、終了時刻の上限 15（所要時間 10）を超えてしまいます。所要時間は上限の 10 に張り付き、速度は一定の 2、目的関数は $10 + 20^2/10 = 50$ になることを確かめる。制約が答えを決める例です。
Problem([5, 8], [8], ...) の 8 を 3 や 20 に変えても、答えがほとんど変わらないことを確かめる。

実行する

uv run python examples/01_minimum_energy_transfer.py

examples/01_minimum_energy_transfer.py を GitHub で見る