はじめに

OpenGoddard は、ロケットの打上げ経路のように「時間とともに変わる操作を、どう決めればいちばん良いか」を数値計算で求める Python ライブラリです。このような問題を最適制御問題といいます。

どんな問題を解くのか

例として、坂道で球を転がす問題を考えます。点 A から静かに球を放し、重力だけで点 B まで転がします。 坂の形を自由に作れるとき、いちばん早く B に着く形はどれでしょうか。

A から B へ球を転がしたときの所要時間。最短距離の直線は最速ではありません。最速の形（サイクロイド）は、最初に急に下って速さを稼ぎます。

直線は距離こそ最短ですが、加速がゆるやかなので遅くなります。逆に深く潜りすぎると道のりが長くなります。 この中間にある「最速の形」は、最初に急降下して速さを稼ぎ、後半はその速さで水平に進む曲線です。

この問題で探しているのは、ひとつの数ではなく、坂の形（各時刻にどちらへ進むか）という関数です。 ロケットなら「各時刻に推力をどれだけ、どの向きに出すか」、自動車なら「各時刻にアクセルとブレーキをどれだけ踏むか」が、 同じように探す対象になります。OpenGoddard はこの種の問題を、次の情報から解きます。

• 運動方程式：操作を決めると、状態（位置・速度・質量など）がどう変化するか
• 条件：出発点と到着点の状態、途中で守る制限（推力の上限、加速度の上限など）
• 目的：何を最小にしたいか（所要時間、燃料、到達高度にマイナスをつけたもの など）

結果として、状態と操作の時間変化（時間履歴）が得られます。下は、2段式ロケットで高度 500 km の円軌道に入るとき、 軌道上に残る質量を最大にする飛び方を求めた例です（例題13）。

例題13の解。青が1段目、赤が2段目の飛行経路、橙の矢印は推力の向きです。白い点は計算で直接求めた点（ノード）で、線はそれらを通る多項式です。

特徴

• 擬スペクトル法（LGL法） で解きます。少ない点数で高い精度が得られる方法です（擬スペクトル法）。
• 数式をそのまま書けます。 運動方程式・条件・目的関数を普通の Python 関数として書くだけで、 離散化や最適化問題の組み立てはライブラリが行います（問題の書き方）。
• 複数の区間を扱えます。 段分離のように途中で性質が変わる飛行も、区間ごとに分けて解けます。
• 依存は NumPy・SciPy・Matplotlib だけです。 最適化には SciPy の SLSQP（逐次二次計画法）を使います。

インストール

Python 3.11 以上が必要です。

pip install OpenGoddard

例題を動かす場合は、リポジトリを取得して uv で環境を作ります。

git clone https://github.com/istellartech/OpenGoddard.git
cd OpenGoddard
uv sync
uv run python examples/02_move_stop.py

このサイトの読み方

最適制御や数値最適化を学習中の方は、上から順に読むことを想定しています。

1. 最適制御問題とは状態・制御・運動方程式・目的関数とは何か。問題をどう数式で書くか。

2. 解き方の全体像間接法と直接法。シューティングとコロケーション。擬スペクトル法の立ち位置。

3. 擬スペクトル法LGLノード、微分行列、求積。運動方程式を有限個の等式に変える仕組み。

4. 問題の書き方数式を OpenGoddard のコードに書き下す手順。

5. 例題1次元の移動から、2段式ロケットの軌道投入まで15題。

APIリファレンスクラスと関数の仕様（docstring から生成）。

名前について

ロケットの父と呼ばれる Robert H. Goddard にちなみます。彼が1919年に提起した「決まった量の推進剤で、ロケットを最も高く上げるには 推力をどう変えればよいか」という問題（Goddard 問題）は、最適制御の代表的な例題です（例題07）。

OpenGoddard は インターステラテクノロジズ株式会社 が MIT ライセンスで公開しています。